O neobstoju ekstremnih grafih

V tem projektu se bomo osredotočili na odprta vprašanja in probleme, ki se nanašajo na problem kletke ter na problem stopnje in premera v neusmerjenih in usmerjenih grafih. Bolj natančno, bomo obravnavali 4 povezanih tem iz ekstremalne teorije grafov.  Obravnavali  bomo dobro znani problem kletk na posebnem razredu vozliščno-tranzitivnih grafov.  Bomo podali negativen odgovor na naslednjo odprto vprašanje:
 Naj bo vt(k,d) red največjega vozliščno-tranzitivnega k-regularnega grafa z premerom d. Ali je res da velja vt(k,d)=n(k,d) za neskončno mnogu parov k>2 in d>2 ?
Obstaja upanje da bomo z spektralne analize uspeli pokazati neobstoja največjega Moorevjega grafa G. Načrt je, izpeljati formule za večkratnost pripadajočih lastnih vrednosti določenega grafa H, ki je podgraf grafa G, in nato izpeljati relacije med njimi.
V tem projektu združili bomo spektralne analize in preštevanja g-ciklov v (k, g)-grafih z presežkom 6, da bi prišli do potrebnih pogojev, ki morajo veljati za parametra k in g. Ta pristop bo uporabljen za izboljšanje spodnje meje za red kletk sode ožine. Z drugimi besedami, pokazali bomo da je presežek kateregakoli k-regularnega grafa ožine g  večji od 6.
Znano je, če  d>δ>k+1>3, potem ne obstaja (d,k,δ)-digraf, ki vsebuje samo samoponovitve.
V tem projektu bomo izboljšali zgornji rezultat, oziroma, pokazali bomo, če d ≥ δ ≥ 2 potem ne obstaja noben (d, k, δ)-digraf, ki vsebuje samo samoponovitve.