Glavni cilj tega projekta je izboljšati naše razumevanje določenih kombinatoričnih objektov. Glavni med njimi so določeni specifični razredi (vektorskih) Boolovih funkcij in linearnih kod, ki nosijo dodatne lastnosti, ki so se izkazale za uporabne v določenih kriptografskih aplikacijah. Če naštejemo nekaj teh aplikacij, so sheme za deljenje skrivnosti (z uporabo minimalnih linearnih kod) ali kod za popravljanje napak v kontekstu postkvantne kriptografije (preko samo-pravokotnih kod).

Linearna koda (n, k, d) z abecedo iz končnega polja GF(q) je podprostor dimenzije k polja GF(q)ⁿ, katerega minimalna razdalja d mora biti maksimirana. Dobre linearne kode nad poljem GF(2) (ki so včasih optimalne) je mogoče izpeljati z uporabo nekaterih posebnih razredov vektorskih Boolovih funkcij, kot so APN (skoraj popolnoma nelinearne) in AB (skoraj ukrivljene) funkcije, ki so preprosto preslikave iz polja GF(2)ⁿ v polje GF(2)ⁿ.

Kot je že opozoril Cunsheng Ding leta 2020, vse projektivne binarne linearne kode izhajajo iz specifične Boolove funkcije, ko se tako imenovana metoda definirajoče množice uporabi za ustrezno podmnožico D polja GF(2)ⁿ. Vendar pa izbira množice D ni enostavna in ni natančnih pravil ali meril, ki bi jih lahko uporabili za njegovo optimalno izbiro. Iz znanih pristopov načrtovanja je razvidno, da je določena kombinatorna struktura nujno vsiljena za definirajoče nize (npr. podpora ukrivljeni funkciji) tako zaradi lažje analize, kot zaradi boljše kontrole parametrov kode. Zato se zdi, da ima osnovna kombinatorna struktura določenih razredov (vektorskih) Boolovih funkcij (kot so APN, AB, ukrivljene in platojske funkcije) v tem kontekstu ključno vlogo.

Naš glavni namen je poglobiti naše razumevanje povezave med projektivnimi linearnimi kodami, ki so optimalne, in posebnimi razredi Boolovih funkcij, ki generirajo takšne kode, s čimer poskušamo odgovoriti na pomembne odprte probleme, ki jih je postavil Cunsheng Ding (»The construction and weight distributions of all projective binary linear codes«). Kljub temu pa niso vse optimalne linearne kode projektivne, kar implicira, da je definirajoča množica multimnožica in problem določanja takšnih kod je sam po sebi težak. V tem kontekstu obstaja nekaj začetnih opazovanj (tekoče delo) na multimnožici D, ki ustvarja optimalne kode (kot modifikacija ukrivljene podpore), vendar ni ustreznega razumevanja tega procesa.

Čeprav je ta raziskovalna smer precej obsežna, je naš cilj tudi vzpostaviti ustrezen okvir za določanje (potencialno novih) funkcij APN z uporabo rezultatov teorije kodiranja. Najpomembneje je, da je lastnost APN mogoče navesti tudi v smislu njegove povezane dualne kode, zato obstaja tesna povezava med dvema na videz nepovezanima objektoma. Natančneje, funkcijo APN nad GF(2)ⁿ je mogoče alternativno podati prek paritetne matrike H velikosti (2ⁿ − 1) × 2ⁿ, katere ustrezna linearna koda ima najmanjšo razdaljo d = 5. Kar je samo po sebi precej zanimivo, čeprav te matrike postanejo velike, ker so njihove velikosti eksponentne glede na n. Ker so stolpci matrike H podani kot veriženje vhodnih in izhodnih vrednosti funkcije F, lahko analiziramo strukturo teh specifičnih matrik za znane razrede funkcij APN in poskušamo zagotoviti splošne rešitve za njihove konstrukcije.

Končni cilj predlaganega projekta je iskanje nadaljnjih povezav med določenimi pomembnimi diskretnimi strukturami, ki lahko povečajo naše znanje o njihovem strukturnem obnašanju.